Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是BC的中點。
(1)求異面直線AE與A₁C所成的角；
(2)若G為C₁C上一點，且EG⊥A₁C，試確定點G的位置；
(3)在（2）的條件下，求二面角A₁-AG-E的大小（文科求其正切值）。

Answer 1

（1）
（2）G是CC₁的中點
(3) 故二面角的平面角是π－arctan 
（文）二面角的平面角的正切值為－

（1）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，E₁C，則AE∥A₁E₁，∴∠E₁A₁C是異面直線AE與A₁C所成的角。設，則

中， 。
所以異面直線AE與A₁C所成的角為。  ------------------4分
（2）.由（1）知，A₁E₁⊥B₁C₁,又因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
⊥BCC₁B₁,又EG⊥A₁C  CE₁⊥EG.
∠=∠GEC ~
即得
所以G是CC₁的中點             ---------------------------- --8分
（3）連結AG,設P是AC的中點，過點P作PQ⊥AG于Q,連EP,EQ,則EP⊥AC.
又平面ABC⊥平面ACC₁A₁  EP⊥平面ACC₁A₁ 
而PQ⊥AG  EQ⊥AG.∠PQE是二面角C-AG-E的平面角.
由EP=a,AP=a,PQ=,得
所以二面角C-AG-E的平面角是arctan，而所求二面角是二面角C-AG-E的補角，故二面角的平面角是π－arctan  ------------------------12分
（文）二面角的平面角的正切值為－。------------------------12分