Question

已知四棱錐P－ABCD，底面是邊長為1的正方形，側棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，E是側棱PC上的動點。
（Ⅰ）不論點E在何位置，是否都有BD⊥AE？證明你的結論；
（Ⅱ）求點C到平面PDB的距離；
（Ⅲ）若點E為PC的中點，求二面角D－AE－B的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

證明：(Ⅰ) 不論點E在何位置，都有BD⊥AE                     …………1分
連結AC，由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面ABCD是正方形
∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面　∴BD⊥PC ………3分
又∵∴BD⊥平面PAC　
∵不論點E在何位置，都有AE平面PAC 
∴不論點E在何位置，都有BD⊥AE                   ………………5分
解：（Ⅱ）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P－ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC="2.                     " ………………7分
設點C到平面PDB的距離為d，
，    
 , , 
---------------------------10分
(Ⅲ) 解法1：在平面DAE內過點D作DG⊥AE于G，連結BG
∵CD="CB,EC=EC," ∴≌
∴ED="EB," ∵AD="AB " ∴△EDA≌△EBA
∴BG⊥EA ∴為二面角D－EA－B的平面角……………… 12分
∵BC⊥DE,   AD∥BC ∴AD⊥DE
在Rｔ△ADE中，=="BG"
在△DGB中，由余弦定理得

∴=                               ………………15分
解法２：以點C為坐標原點，CD所在的直線為ｘ軸建立空間直角坐標系如圖示：
則,從而………………  11分
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為

由法向量的性質可得：，

令，則，
∴                       ………13分
設二面角D－AE－B的平面角為，則
∴                            …………………………………  15分