Question

【題目】已知圓, 在拋物線上,圓過原點且與的準線相切.

(Ⅰ) 求的方程；

(Ⅱ) 點,點（與不重合）在直線上運動,過點作的兩條切線,切點分別為, .求證： （其中為坐標原點）.

Answer 1

【答案】（I）;(Ⅱ) 見解析.

【解析】試題分析：（I）原點在圓上，拋物線準線與圓相切，可得三者之間的關系，進而求出的方程；(Ⅱ) 設， ， ，利用導數求得兩切線方程，利用根與系數關系可證，即證兩角相等．

試題解析：（I）解法一：因為圓的圓心在拋物線上且與拋物線的準線相切，且圓半徑為，

故，

因為圓過原點，所以，所以，

又，所以，

因為，所以，所以拋物線方程．

解法二：因為圓的圓心在拋物線上且與拋物線的準線相切，由拋物線的定義，

圓必過拋物線的焦點，

又圓過原點，所以，

又圓的半徑為3，所以，又，

又，得，所以．所以拋物線方程．

解法三：因為圓與拋物線準線相切，所以，

且圓過又圓過原點，故，可得，

解得，所以拋物線方程

(Ⅱ) 解法一：設， ， ， 方程為，所以， 5分

求得拋物線在點處的切線的斜率，所以切線方程為： ，

即，化簡得，

又因過點，故可得， ，

即，同理可得，

所以為方程的兩根，所以， ，

因為，所以，

化簡 ．

所以．

解法二：依題意設點，設過點的切線為，所以，

所以，所以，即，

不妨設切線的斜率為，點， ，

所以， ，又，所以，所以，

所以， ，即點，同理點，

因為，所以，同理，

所以 ，

所以．