Question

【題目】已知橢圓C方程為 （a＞b＞0），左、右焦點分別是F1 ， F2 ， 若橢圓C上的點P（1， ）到F1 ， F2的距離和等于4． （Ⅰ）寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓C的動點，求線段F1Q中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）直線l過定點M（0，2），且與橢圓C交于不同的兩點A，B，若∠AOB為銳角（O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k0的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得：2a=4，得a=2， 又點P（1， ）在橢圓 上，
∴ ，解得b2=1．
∴橢圓C的方程為 ，焦點 ；
（Ⅱ）設(shè)橢圓上的動點Q（x0 ， y0），線段F1Q中點T（x，y），
由題意得： ，得 ，代入橢圓的方程得 ，
即 為線段F1Q中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）由題意得直線l的斜率存在且不為0，
設(shè)l：y=kx+2，代入 整理，
得（1+4k2）x2+16kx+12=0，
△=（16k）2﹣4（1+4k2）12=16（4k2﹣3）＞0，得 　 …①
設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），∴ ．
∵∠AOB為銳角，
∴cos∠AOB＞0，則 ，
又 ．
∴
=
= ，
∴k2＜4 …②
由①、②得 ．
∴k的取值范圍是 ．
【解析】（Ⅰ）由題意得到橢圓的半長軸長，把點P的坐標(biāo)代入橢圓方程求得b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)出Q和T的坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式把Q的坐標(biāo)用T的坐標(biāo)表示，代入橢圓方程可得線段F1Q中點T的軌跡方程；（Ⅲ）聯(lián)立直線和橢圓方程，化為關(guān)于x的應(yīng)用二次方程，由判別式大于0及 求解直線l的斜率的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．