Question

（本小題滿分14分)如圖，橢圓：的左焦點為，右焦點為，離心率．過的直線交橢圓于兩點，且△的周長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程．
（Ⅱ）設動直線：與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．試探究：在坐標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）證明見解析.

試題分析：（Ⅰ）∵過的直線交橢圓于兩點，且△的周長為．
∴∴∵，∴,∴
∴橢圓的方程為                                          ……4分
（Ⅱ）由，消元可得:       ……5分
∵動直線：與橢圓有且只有一個公共點，
∴∴∴,     
此時即,
由得                                   　　　……8分
取，此時，
以為直徑的圓為，交軸于點,
取，此時，
以為直徑的圓為交軸于點或,
故若滿足條件的點存在，即，                                ……1２分
證明如下
∵，
∴
故以為直徑的圓恒過軸上的定點.                          ……1４分
點評：遇到直線與橢圓的位置關系的題目，往往免不了要把直線方程和橢圓方程聯立方程組，消去一個未知數，然后利用根與系數的關系進行解答，有時也和向量結合起來解決問題，運算量比較大，難度中等偏上，但是是高考中常考的題目，必須加以重視.