Question

【題目】已知P（﹣2，3）是函數(shù)y= 圖象上的點，Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點，過點Q作直線，使其與雙曲線y= 只有一個公共點，且與x軸、y軸分別交于點C、D，另一條直線y= x+6與x軸、y軸分別交于點A、B．則
（1）O為坐標(biāo)原點，三角形OCD的面積為 ．
（2）四邊形ABCD面積的最小值為 ．

Answer 1

【答案】
（1）12
（2）48
【解析】解：（1.）∵P（﹣2，3）是函數(shù)y= 圖象上的點， 故k=﹣6，即y= ，則y′= ，
設(shè)Q是雙曲線在第四象限這一分支上的動點（a， ），（a＞0），
則由題意得直線CD與雙曲線在第四象限這一分支相切，
故直線CD的方程為：y+ = （x﹣a），
令y=0，可得x=2a，即C點坐標(biāo)為（2a，0），
令x=0，可得y=﹣ ，即D點坐標(biāo)為（0，﹣ ），
故三角形OCD的面積S△OCD= ×2a× =12，
（2.）∵直線y= x+6與x軸、y軸分別交于點A、B，
則A（﹣4，0），B（0，6），
故四邊形ABCD面積S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△OAD= ×4×6+ ×2a×6+ ×4× +12=24+6a+ ≥24+2 =48，
即四邊形ABCD面積的最小值為48，
所以答案是：12，48
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值．