Question

（本小題滿分12分．其中（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問6分）

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E、F分別為棱BC、AD的中點．

（Ⅰ）若PD=1，求異面直線PB和DE所成角的余弦值；

（Ⅱ）若二面角P-BF-C的余弦值為，求四棱錐P-ABCD的體積

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）E，F分別為棱BC，AD的中點，ABCD是邊長為2的正方形

Þ∥且=Þ為平行四邊形

Þ ∥Þ的所成角．

中，BF= ,PF=，PB=3Þ

Þ異面直線PB和DE所成角的余弦為                     ……………6分

（Ⅱ）（法一）過作的垂線，垂足為，連結

因為面，由三垂線定理，可知

所以即為二面角的平面角                 ……………8分

又，

所以，                                 ……………12分

（法二）以D為原點，射線DA,DC,DP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.設PD=a,

可得如下點的坐標： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，則有： 

因為PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一個法向量為， 

設平面PFB的一個法向量為，則可得      即 

令x=1,得，所以.  由已知，二面角P-BF-C的余弦值為，所以得：， 解得 

因為PD是四棱錐P-ABCD的高，所以，其體積為．………12分

 

【解析】略