Question

經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點的弦中點軌跡方程是

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)，進而設(shè)出過焦點弦的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂，進而根據(jù)直線方程求得y₁+y₂，進而求得焦點弦的中點的坐標(biāo)的表達式，消去參數(shù)k，則焦點弦的中點軌跡方程可得．

解答：解：由題知拋物線焦點為（1，0）
直線斜率存在時，設(shè)焦點弦方程為y=k（x-1），代入拋物線方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韋達定理：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，所以中點橫坐標(biāo)：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直線方程，中點縱坐標(biāo)：y=k（x-1）=

2

k

．即中點為（

k2+2

k2

，

2

k

）
消參數(shù)k，得其方程為y²=2x-2
直線斜率不存在時，（1，0）也滿足方程．
故答案為：y²=2x-2

點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．涉及弦的中點的時候，常需要把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理設(shè)而不求．