Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，四邊形是平行四邊形，且．

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為45°，是的中點，求異面直線與所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證直線與平面平行，需證直線與平面內一條直線平行；

（2）先找出與平面所成的角，求得相關線段的長，再找出異面直線所成的角或其補角，利用余弦定理求解即可．

（1）連接，記，連接，

∵是直四棱柱，

∴，且，

∵分別是的中點，

∴，且，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，

∵平面平面，

∴平面．

（2）過作，交的延長線于點，連接，

則平面為與平面所成的角．

不妨設，則，

在中，，

∴．

∵與平面所成的角為45°，∴，

∴，∴．

取的中點，連接，

則為直線與所成的角或其補角．

易知，

，

，

∴，

故異面直線與所成角的余弦值為．