Question

（2013•臨沂三模）如圖放置的正方形ABCD，AB=1，A，D分別在x軸、y軸的正半軸（含原點）上滑動，則

OC

•

OB

的最大值是

2

．

Answer 1

分析：設∠DAO=θ，則∠BAx=

π

2

-θ，OA=cosθ，OD=sinθ，求得點B（cosθ+sinθ，cosθ），點C（sinθ，cosθ+sinθ），計算

OB

•

OC

等于1+sin2θ≤2，可得

OB

•

OC

的最大值．

解答：解：設∠DAO=θ，則∠BAx=

π

2

-θ，∴OA=cosθ，OD=sinθ，
∴點B（cosθ+sinθ，cosθ），過點C作y軸的垂線CE，E為垂足，則∠CDE=θ，
由此可得點C（sinθ，cosθ+sinθ）．
∴

OB

•

OC

=（cosθ+sinθ）sinθ+cosθ（cosθ+sinθ）=sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1+sin2θ≤2，
故

OB

•

OC

的最大值為2，
故答案為 2．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，求得點C（sinθ，cosθ+sinθ），是解題的難點和關鍵，屬于中檔題．