Question

已知函數y=f(x+

1

2

)-

1

2

是定義域為實數集R的奇函數，則f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2010

2011

)的值為

1005

．

Answer 1

分析：根據奇函數的關系式：f（x）=-f（-x）化簡得，f(x+

1

2

)+f(-x+

1

2

)=1，即兩個自變量和為1時對應函數值的和也為1，再把所求的式子進行轉化為1005個“f(

1

2011

)+f(

2010

2011

)”之和進行求解．

解答：解：∵函數y=f(x+

1

2

)-

1

2

是定義域為實數集R的奇函數，
∴f(x+

1

2

)-

1

2

=-（f(-x+

1

2

)-

1

2

），即f(x+

1

2

)+f(-x+

1

2

)=1，
故兩個自變量和為1，則對應函數值的和也為1，
∴f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+…+f(

2010

2011

)=1005（f(

1

2011

)+f(

2010

2011

)）=1005，
故答案為：1005．

點評：本題考查了奇函數的關系式：f（x）=-f（-x）的轉化，以及整體思想在求值的應用．