Question

已知函數y=f(x)=

lnx

x

．
（1）求函數y=f（x）的圖象在x=

1

e

處的切線方程；
（2）求y=f（x）的最大值；
（3）比較2009²⁰¹⁰與2010²⁰⁰⁹的大小，并說明為什么？

Answer 1

分析：（1）欲求在x=

1

e

處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=

1

e

處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）研究函數f（x）在定義域上的單調性，從而求出函數的最值；
（3）根據函數f(x)=

lnx

x

在（e，+∞）上為減函數，則

ln2009

2009

＞

ln2010

2010

，化簡變形可得所求．

解答：解：（1）∵f（x）定義域為（0，+∞）
f（x）的導數為f′(x)=

1-lnx

x2

∵f(

1

e

)=-e，
又∵k=f′(

1

e

)=2e2，
∴函數y=f（x）在x=

1

e

處的切線方程為：y+e=2e2(x-

1

e

)，
即：y=2e²x-3e
（2）∵當x∈（0，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上為增函數；
當x∈（e，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）在（e，+∞）上為減函數；
∴fmax(x)=f(e)=

1

e

．
（3）∵2009，2010∈（e，+∞），且2009＜2010，
又∵f(x)=

lnx

x

在（e，+∞）上為減函數，
∴

ln2009

2009

＞

ln2010

2010

，
∴2010ln2009＞2009ln2010，
∴ln2009²⁰¹⁰＞ln2010²⁰⁰⁹，
∴2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹

點評：本題考查的是利用導數求曲線的切線方程，以及研究函數的單調性和利用單調性證明不等式等綜合問題，屬于中檔題．