Question

（本小題滿分12分）如圖，在長方體中，已知底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱，P是側棱上的一點，.

（Ⅰ）試問直線與AP能否垂直？并說明理由；

（Ⅱ）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60º；

（Ⅲ）若m=1，求平面PA₁D₁與平面PAB所成角的大小.

Answer 1

【解析】（Ⅰ）以D為原點，DA、DC、DD₁分別為

x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.

則D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0,1,0), 

D₁ (0,0,2)，A₁ (1,0,2)，B₁ (1,1,2)，C₁ (0,1,2)， P(0,1,m)，

所以，

.………4分

（Ⅱ）∵

又∵，

∴的一個法向量.

設直線與平面所成的角為，

則=，解得.

故當時，直線AP與平面所成角為60º.………………8分

（Ⅲ）∵m=1，∴P(0,1,1)，∴.

設平面PA₁D₁的法向量為，可求得，

設平面PAB的法向量為，可求得.

∴，

故平面PA₁D₁與平面PAB所成角為60⁰. ………………12分