Question

【題目】已知函數f（x）=x2+mx+n有兩個零點﹣1與3．
（1）求出函數f（x）的解析式，并指出函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若g（x）=f（|x|）在x1 ， x2∈[t，t+1]是增函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=x2+mx+n有兩個零點﹣1與3，由韋達定理，可得：m=﹣2，n=﹣3，

故得函數f（x）的解析式f（x）=x2﹣2x﹣3，

解析式化簡得f（x）=（x﹣1）2﹣4．

對稱軸x=1，

∴f（x）的增區為（1，+∞）

（2）解：∵g（x）=f（|x|），由（1）得f（x）=x2﹣2x﹣3

∴g（x）=x2﹣2|x|﹣3

畫g（x）的圖象如下：

由圖象可知：[﹣1，0]和[1，+∞）是單調遞增區間；

∵函數g（x）要使[t，t+1]是增函數，

由圖觀察可得：t=﹣1或t≥1．

故得實數t的取值范圍是{t|t=﹣1或t≥1}．

【解析】（1）函數有兩個零點﹣1與3，由韋達定理可求解m，n的值，可得函數f（x）的解析式，利用二次函數的性質可得單調性．（2）求出g（x）的解析式，畫出圖形，數形結合可求得t的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數單調性的判斷方法，需要了解單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能得出正確答案．