Question

【題目】對于定義域為I的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]I，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數y=f（x）的“好區間”．
（1）設g（x）=loga（ax﹣2a）+loga（ax﹣3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定義域并判斷其單調性；
（2）試判斷（1）中的g（x）是否存在“好區間”，并說明理由；
（3）已知函數P（x）= （t∈R，t≠0）有“好區間”[m，n]，當t變化時，求n﹣m 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意： ，解得：ax＞3a，

①當a＞1時，x＞log3（3a），函數此時定義域D=（log3（3a），+∞）．

設x1＜x2，x1，x2∈D，

∵ ，∴0＜ ，0＜ ，

∴ ， ，

∴g（x2）＞g（x1）

故得函數g（x）在定義域D=（log3（3a），+∞）內是增函數．

②當0＜a＜1時，x＜log3（3a），函數此時定義域D=（﹣∞，log3（3a））．

同理可證g（x）在定義域D=（﹣∞，log3（3a））內是增函數

（2）解：假設g（x）存在“好區間”，由（1）可知m，n∈D（m＜n，

由新定義有： 關于x的方程在定義域D內有兩個不等的實數根．

即（ax﹣2a）（ax﹣3a）=ax在定義域D內有兩個不等的實數根．（*）

設t=ax，則（*）（t﹣2a）（t﹣3a）=t，即t2﹣（5a+1）t+6a2=0在（3a，+∞）內有兩個不等的實數根，

令t2﹣（5a+1）t+6a2=P（t），

則 ，解得：a無解．

所以函數g（x）不存在“好區間”

（3）解：由題設，函數P（x）= = （t∈R，t≠0）有“好區間”[m，n]，其定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

根據反比例的性質，函數P（x）= 在[n，m]上單調遞增，

則 ，所以m，n是方程p（x）=x實數根．

即方程t2x2﹣（t2+t）x+1=0有同號的相異實數根．

∵mn= ＞0，mn同號，

∴△=（t2+t）﹣4t2＞0或t＜﹣3，解得：t＞1或t＜﹣3．

m﹣n= ，

當t=3，n﹣m得最大值

【解析】（1）根據對數的真數大于0，在討論底數a與1的大小可得定義域．定義證明單調性．（2）根據定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關系求解a的值即可判斷．（3）根據定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關系，轉化為二次函數的問題配方求解最值．