Question

【題目】如圖，設是由 個實數組成的行列的數表，其中 表示位于第行第列的實數，且.

定義 為第s行與第t行的積. 若對于任意（），都有，則稱數表為完美數表.

（Ⅰ）當時，試寫出一個符合條件的完美數表；

（Ⅱ）證明：不存在10行10列的完美數表；

（Ⅲ）設為行列的完美數表，且對于任意的和，都有，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）（1）見解析，（2）不存在10行10列的完美數表；（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據定義確定一個解即可，（Ⅱ）先研究完美數表性質，再利用性質作變換，考慮前三行的情況，列方程組，最后根據所求解得矛盾，即證得結論，（Ⅲ）把作為研究對象，根據條件可得，根據定義可得.最后根據不等關系：證得結果.

（Ⅰ）答案不唯一. 如

1	1
	1

（Ⅱ）假設存在10行10列的完美數表. 根據完美數表的定義，可以得到以下兩個結論：

（1）把完美數表的任何一列的數變為其相反數（即均變為，而均變為），得到的新數表是完美數表；

（2）交換完美數表的任意兩列，得到的新數表也是完美數表.

完美數表反復經過上述兩個結論的變換，前三行可以為如下形式：

在這個新數表中，設前三行中的數均為1的有x列，前三行中“第1, 2行中的數為1，且第3行中的數為-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的數為1，且第2行中的數為-1”的有z列，前三行中“第1行中的數為1，且第2, 3行中的數為-1”的有w列（如上表所示），

則

由，得；

由，得；

由，得.

解方程組，，，，得. 這與矛盾，

所以不存在10行10列的完美數表.

（Ⅲ）記第1列前行中的數的和，

第2列前行中的數的和 ，……，

第n列前行中的數的和，

因為對于任意的和，都有，

所以.

又因為對于任意（），都有，

所以.

又因為，

所以，即.