Question

（本小題滿分12分）如圖，已知正三棱柱的各棱長都是4， 是的中點，動點在側棱上，且不與點重合．

（I）當時，求證：；

（II）設二面角的大小為，求的最小值．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解法一：過E作于N，連結EF．

（I）如圖1，連結NF、，由直棱柱的性質知，底面ABC側面．

又底面側面=AC，且底面ABC，所以側面，

∴NF為EF在側面內的射影，

在中，=1，則由，得NF//，

又故，由三垂線定理知

（II）如圖2，連結AF，過N作于M，連結ME，由（I）知側面，

根據三垂線定理得,所以是二面角C—AF—E的平面角，即．

設，在中，

在 故

又，故當即當時，達到最小值，

，此時F與重合．

解法二：（I）建立如圖3所示的空間直角坐標系，則由已知可得

于是

故

（II）設平面AEF的一個法向量為，

則由（I）得，

于是由可得

                        取

                        又由直三棱柱的性質可取側面

                        的一個法向量為，

于是由為銳角可得，∴，

由，得，即

故當，即點F與點重合時，取得最小值

 

【解析】略