Question

【題目】已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.

（1）證明：直線AB過定點：

（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) 3或.

【解析】

可用解析法和幾何法證明。解析法可設A，B兩點的坐標分別為，，然后求出A，B兩點處的切線，兩條切線交于直線之上，所以交點的縱坐標為

聯立方程可解和的關系。之后用兩點式求出直線方程，最后根據直線方程求出它所過的定點.(2)應用四邊形面積公式，代入化簡出關于和的對稱式。然后分情況討論求解。如果不知道四面下面積公式則可以將四邊形分成兩個三角形求面積之后做和，但會稍微麻煩一些。（此題若用向量積的概念則更為容易）

(1)證明：設A，B兩點的坐標分別為，，因為，所以，

則切線DA為：---------①，切線DB為：--------②，

代入得，得，因為故消去得交點的縱坐標，

因為DA和DB的交點D為直線上的動點，所以有，，

直線AB為，點A，B在曲線上，則有，整理得，即.當，時無論,取何值時，此等式均成立。因此直線AB過定點，得證。

(2)設AB的中點為G，由題得G點坐標為，則，又.由題意知，即即.代入得整理得.

因，故.所以或.

由第一問中，為這里的為D點坐標,然而,故

，所以，又因為.所以。即D坐標為.

那么,.

設為與的夾角，那么有

代入進行化簡有

若，則.

若，則,

代入有.

所以四邊形ADBE的面積為3或.