Question

20. 已知｛a_n｝是等差數列，{b_n}是公比為q的等比數列，a₁=b₁，a₂=b₂≠a₁，記S_n為數列｛b_n｝的前n項和.

（1）若b_k=a_m（m，k是大于2的正整數），求證：S_k-1=（m-1）a₁;

（2）若b₃=a_i（i是某個正整數），求證：q是整數，且數列{b_n}中的每一項都是數列｛a_n｝中的項。

（3）是否存在這樣的正數q，使等比數列{b_n}中有三項等差數列？若存在，寫出一個q的值，并加以說明；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設等差數列的公差為d，則由題設得a₁+d=a₁q，d=a₁(q-1)，且q≠1.

由b_k=a_m得b₁q^k-1=a₁+(m-1)d，所以b₁(q^k-1-1)=(m-1)d，

S_k-1==(m-1)a₁.

故等式成立。

（2）（i）證明q為整數：

由b₃=a_i得b₁q²=a₁+(i-1)d，即a₁q²=a₁+(i-1)a₁(q-1)，

移項得a₁(q+1)(q-1)=a₁(i-1)(q-1).

因a₁=b₁≠0，q≠1，得q=i-2.故q為整數。

（ii）證明數列｛b_n｝中的每一項都是數列｛a_n｝中的項：

設b_n是數列｛b_n｝中的任一項，只要討論n>3的情形。

令b₁q^n-1=a₁+(k-1)d，即a₁q^n-1–a₁=(k-1)a₁(q-1)，

得k=1+=2+q+q²+……+q^n-2.

因q=i-2，當i=1時，q=-1，q+q²+……+q^n-2為-1或0，則k為1或2；而i≠2，否則q=0，矛盾。

當i≥3時，q為正整數，所以k為正整數，從而b_n=a_k。

故數列｛b_n｝中的每一項都是數列｛a_n｝中的項。

（3）取q=，b₂=b₁q，b₄=b₁q³.

b₁+b₄=b₁(1+q³)=b₁[1+()³]=b₁(-1)=2b₂.

所以b₁，b₂，b₄成等差數列。