Question

已知等比數列{a_n}滿足a₁•a₂•a₃=64，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項a_n；
（2）若bn=anlog

1

2

an，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使Sn+n•2n+1＞50成立的正整數n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用條件a₁•a₂•a₃=64，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，求數列的首項和公比，可求數列{a_n}的通項a_n；
（2）求出數列b_n的通項公式，然后利用錯位相減法，求和S_n，然后解不等式即可．

解答：解：（1）設等比數列首項為a₁，公比為q，
由題知  

a1•a2••a3=a23=64 2(a3+2)=a2+a4

，

a2=4 2(a2q+2)=a2+a2q2

，
∵q≠0，得 

a2=4 q=2

，
∴a₁=2，∴an=2•2n-1=2n----------（5分）
（2）由（1）得bn=anlog

1

2

an=2nlog

1

2

2n=-n•2n，
∴Sn=b1+b2+•…+bn=-(1×2+2×22+3×23+…+n•2n）
設    Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n①
則    2Tn=，1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1②
由①-②得    -Tn=1×2+1×22+1×23+…+1•2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=-（n-1）2ⁿ⁺¹-2
∴Sn=-Tn=-(n-1)2n+1-2，
要使 Sn+n•2n+1＞50成立，即要-（n-1）2ⁿ⁺¹-2+n•2ⁿ⁺¹＞50
即要    2ⁿ＞26③
∵函數y=2^x是單調增函數，且2⁴=16，2⁵=32，由③得n的最小值是5．----------（12分）

點評：本題主要考查等比數列的通項公式以及利用錯位相減法對數列求和，要求熟練掌握錯位相減法．