Question

【題目】已知函數 是奇函數.

（1）求實數的值；

（2）判斷函數在上的單調性，并給出證明；

（3）當時，函數的值域是，求實數與的值

Answer 1

【答案】1解：（1）由已知條件得

對定義域中的均成立.………………………………1分

即

對定義域中的均成立.

即（舍去）或. …………………………………4分

（2）由（1）得

設，

當時，

. ………………………………6分

當時，，即.

當時，在上是減函數. ………………………………8分

同理當時，在上是增函數. ………………………10分

（3）函數的定義域為，

①， .

在為增函數，

要使值域為，

則（無解）

②， .

在為減函數,

要使的值域為, 則

，. ……………………………14分

【解析】

試題

(1)由奇函數的性質得到關于實數m的方程，解方程可得m=-1；

(2)結合(1)的結論首先確定函數的解析式，結合對數函數的性質可知當a>1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞減； 當0<a<1時,f(x)在(1,+∞)上單調遞增；

(3)結合奇函數的性質和(2)中確定的函數的單調性得到關于實數a,n的方程組，分類討論求解方程組可得.

試題解析：

（1）由為奇函數，則對定義域任意恒有即 （舍去1）

(2)由（1）得，當時，

當時，現證明如下：

設，

(3)由題意知定義域上的奇函數。

①當即時，由(2)知在(n,a-2)上f(x)為增函數，

由值域為(1,+∞)得無解；

②當(n,a-2)(1,+∞)即1≤n<a-2有a/span>>3，

由（2）知在(n,a-2)上f(x)為減函數，

由值域為得