Question

【題目】已知數(shù)列 ，…，Sn是其前n項和，計算S1、S2、S3 ， 由此推測計算Sn的公式，并給出證明．

Answer 1

【答案】解：S1= = ；

S2= + = （1﹣ ）+ （ ﹣ ）= ；

S3= + + = （1﹣ + ﹣ + ﹣ ）= （1﹣ ）= ．

可得 ；

猜測 （n∈N*）．

（方法一）用數(shù)學歸納法證明：

當n=1時，S1= = ，猜想成立；

假設當n=k（k∈N*）時猜想成立．即Sk= ，

那么當n=k+1時，有

= = ，

所以，當n=k+1時，猜想也成立．

綜上，對任意n∈N*，猜想成立．

（方法二）由 = （ ﹣ ），

可得Sn= + +…+ +

= （1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ ）

= （1﹣ ）=

【解析】直接計算可得S1、S2、S3，由此猜測 （n∈N*）．運用數(shù)學歸納法和裂項相消求和，即可得到結論．
【考點精析】掌握數(shù)列的前n項和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系．