Question

如圖，多面體的直觀圖及三視圖如圖所示，分別為的中點．
（1）求證：平面；
(2）求多面體的體積．

Answer 1

（1）證明：見解析；（2）多面體的體積．

試題分析： （1）由多面體的三視圖知，三棱柱中,底面是等腰
直角三角形，，平面,側面都是邊長為的正方形．
連結，則是的中點，由三角形中位線定理得，得證.
（2）利用平面，得到,
再據⊥，得到⊥平面，從而可得：四邊形 是矩形,且側面⊥平面.
取的中點得到,且平面．利用體積公式計算.
所以多面體的體積．      12分
試題解析： （1）證明：由多面體的三視圖知，三棱柱中,底面是等腰
直角三角形，，平面,側面都是邊長為的
正方形．連結，則是的中點，
在△中，，
且平面，平面，
∴∥平面．          6分

（2） 因為平面，平面,
,
又⊥，所以，⊥平面，
∴四邊形 是矩形,且側面⊥平面     8分
取的中點,,且平面．      10分
所以多面體的體積．      12分