Question

【題目】設函數在點處的切線方程是

（1）求實數的值.

（2）若方程有唯一實數解，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求得函數的導數，根據題設條件，得到，，即可求解；

（2）由方程有唯一實數解，得有唯一實數解，

設，利用導數得到函數的單調性與最小值，再由有唯一解，轉化為，設函數，再由至多有一解，得到，代入方程組，即可求解.

（1）由題意，函數，則，

當時，，所以，

又由，解得.

（2）由（1）可得，

因為方程有唯一實數解，

所以有唯一實數解，

設，則，

令，則，

因為，所以，方程有兩異號根，設為，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增，

當時，取最小值，

當時，，當時，，

因為有唯一解，所以，則，即，

因為，所以，（*）

設函數，

因為當時，是增函數，所以至多有一解，

因為，所以方程（*）的解為，

代入方程組解得.