Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-

9

x

+a，x∈[1，6]，a∈R，
（1）若a=1，試判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值M（a）的表達(dá)式；
（3）當(dāng)a∈（1，3）時(shí)，求證：函數(shù)f（x）存在反函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),反函數(shù)

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若a=1，f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

在[1，6]上是增函數(shù)；
（2）分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性求最值；
（3）證明有反函數(shù)只要證明單調(diào)即可．

解答： 解：（1）若a=1，
f（x）=|x-1|-

9

x

+1=x-

9

x

在[1，6]上是增函數(shù)，證明如下：
∵y=x在[1，6]上是增函數(shù)，y=-

9

x

在[1，6]上是增函數(shù)，
∴f（x）=x-

9

x

在[1，6]上是增函數(shù)，
（2）若a≤1，則
f（x）═x-

9

x

在[1，6]上是增函數(shù)，M（a）=f_max（x）=6-

3

2

=

9

2

；
若1＜a≤3，
則f（x）=|x-a|-

9

x

+a=

a-x- 9 x +a，1≤x≤a x- 9 x ，a≤x≤6

，
則f（x）在在[1，6]上是增函數(shù)，
M（a）=f_max（x）=6-

3

2

=

9

2

；
若3＜a＜6，
則f（x）=|x-a|-

9

x

+a=

a-x- 9 x +a，1≤x≤a x- 9 x ，a≤x≤6

，
f（x）在[1，3]上是增函數(shù)，在[3，a]上是減函數(shù)，在[a，6]上是增函數(shù)，
又∵f（3）=2a-6，f（6）=

9

2

，
則當(dāng)3＜a≤

21

4

時(shí)，M（a）=f_max（x）=6-

3

2

=

9

2

；
當(dāng)

21

4

＜a＜6時(shí)，M（a）=f_max（x）=2a-6，
當(dāng)a≥6時(shí)，f（x）=|x-a|-

9

x

+a=2a-x-

9

x

，
M（a）=f_max（x）=f（3）=2a-6，
綜上所述，M（a）=

9 2 ，a≤ 21 4 2a-6，a＞ 21 4

；
（3）證明：∵a∈（1，3）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）存在反函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．