Question

有下列敘述：
①函數f(x)=sin(

x

2

+

3π

4

)的最小正周期為4π；
②已知函數f（x）=

1+x2

1-x2

(x≠±1)，則f(2)+f(3)+f(4)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

4

)=3；
③函數y=cos²x+sinx的最小值是-1；
④定義：若任意x∈A，總有a-x∈A（A≠∅），就稱集合A為a的“閉集”，已知集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，則這樣的集合A共有7個．
其中敘述正確的序號是

①③④

．

Answer 1

分析：根據正弦函數的周期性，求出函數的周期，可判斷①；根據已知中的函數解析式，求出f（x）+f（

1

x

）=0，可判斷②；根據平方關系及二次函數的圖象和性質求出函數的最小值，可判斷③，根據已知中“閉集”的定義，求出集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，可判斷④．

解答：解：函數f(x)=sin(

x

2

+

3π

4

)的ω=

1

2

，則周期T=

2π

ω

=4π，故①正確；
已知函數f（x）=

1+x2

1-x2

，f（

1

x

）=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-

1+x2

1-x2

，故f（x）+f（

1

x

）=0，故f（2）+f（3）f（4）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）=0，故②錯誤
函數y=cos²x+sinx=1-sin²x+sinx=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，當sinx=-1時，函數y=cos²x+sinx的最小值是-1，故③正確；
集合A⊆{1，2，3，4，5，6}且A為6的“閉集”，則這樣的集合A共有
{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共7個，故④正確．
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是三周函數的周期性，值域，函數求值，是邏輯與其它章節的綜合應用，難度中檔．