Question

下列敘述
①對于函數f（x）=-x²+1，當x₁≠x₂時，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

）；
②設f（x）=

1+x2

1-x2

則f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2012

）=0；
③定義域是R的函數y=f（x）在[a，b）上遞增，且在[b，c]上也遞增，則f（x）在[a，c]上遞增；
④設滿足3^x=5^y的點P為（x，y），則點P（x，y）滿足xy≥0．
其中正確的所有番號是：

①②④

．

Answer 1

分析：①作出函數的圖象，利用凸函數的定義進行判斷．②證明f（x）+f（

1

x

）=0即可．③根據函數單調性的定義，舉出反例即可．④根據指數函數的性質進行判斷．

解答：解：①不妨設x₁＜x₂時，作出對應的函數圖象（圖1），由圖象可知，

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），（滿足

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

的函數成為凸函數），∴①正確．
②∵f（x）=

1+x2

1-x2

，∴f（x）+f（

1

x

）=

1+x2

1-x2

+

1+( 1 x )2

1-( 1 x )2

=

1+x2

1-x2

+

1+x2

x2-1

=

1+x2

1-x2

-

1+x2

1-x2

=0，
∴f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2012

）=0，∴②正確．
③函數f（x）=

x+1，0≤x＜1 x，1≤x≤2

，滿足在[0，1），和[1，2]上分別單調遞增，但f（x）在[0，2]上不是單調函數（圖2），
∴③錯誤．
④若x=0，則3^x=5^y=1，∴此時y=0，∴xy=0，滿足xy≥0，
若x＞0，則3^x=5^y＞1，∴此時y＞0，∴xy＞0，滿足xy≥0，
若x＜0，則3^x=5^y＜1，∴此時y＜0，∴xy＞0，滿足xy≥0，
綜上恒有xy≥0，成立，∴④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題主要考查函數的圖象和性質的應用，利用數形結合是解決函數問題中經常用的方法，考查函數性質的綜合應用．