Question

【題目】已知函數 ．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若﹣1＜x＜1時，均有f（x）≤0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）的定義域為（﹣1，1）∪（1，+∞），

f′（x）= ，

當﹣1＜x＜0或＞3時，f′（x）＞0，當0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，

所以函數f（x）的增區間為（﹣1，0），（3，+∞），減區間為（0，1），（1，3）

（2）解：f′（x）= ，

當a≤0時，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1時，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．

當a＞0時，由f′（x）=0，得x1= ，x2= ．

若0＜a＜1，此時0＜x1＜1，對0＜x＜x1，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．

若a＞1，此時﹣1＜x1＜0，對x1＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．

若a=1，由（Ⅰ）知，函數f（x）在x=0處取得最大值0，符合題意，

綜上實數a的取值為1

【解析】（1）當a=1時，f（x）的定義域為（﹣1，1）∪（1，+∞）， 求出f′（x）= ，即可求單調區間；（2）f′（x）= ，
分（1）a≤0，（2）當a＞0，討論單調性及最值即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．