Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f（x+T）=T f（x）成立。
（1）函數f（x）= x 是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數f（x）=a^x（a>0，且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函數f（x）=sinkx∈M ，求實數k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）對于非零常數T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx
因為對任意x∈R，x+T= Tx不能恒成立，
所以f（x）=。
（2）因為函數f（x）=a^x（a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，
所以方程組：有解，消去y得a^x=x，
顯然x=0不是方程a^x=x的解，
所以存在非零常數T，使a^T=T
于是對于f（x）=a^x有

故f（x）=a^x∈M。
（3）當k=0時，f（x）=0，顯然f（x）=0∈M
當k≠0時，因為f（x）=sinkx∈M，
所以存在非零常數T，對任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，
即sin（kx+kT）=Tsinkx
因為k≠0，且x∈R，
所以kx∈R，kx+kT∈R，
于是sinkx ∈[-1，1]，sin（kx+kT）∈[-1，1]，
故要使sin（kx+kT）=Tsinkx成立，
只有T=±1，當T=1時，sin（kx+k）=sinkx 成立，則k=2mπ，m∈Z
當T=-1時，sin（kx-k）=-sinkx成立，即sin（kx-k+π）=sinkx 成立，
則-k+π=2mπ，m∈Z ，即k=-2（m-1）π，m∈Z
綜合得，實數k的取值范圍是{k|k=mπ，m∈Z}。