Question

設函數f（x）=sinx-cosx+ax+1．
（1）當a=1，x∈[0，2π]時，求函數f（x）的單調區間與極值；
（2）若函數f（x）為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）=sinx-cosx+x+1求導，對導函數用輔助角公式變形，利用導數等于0得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側導數的正負，判斷區間的單調性，求極值；
（2）由于函數f（x）為單調函數，則f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立，解出a即可．

解答：解：（1）由f（x）=sinx-cosx+x+1=

2

sin（x-

π

4

）+x+1，0＜x＜2π，
知f′（x）=1+

2

sin（x+

π

4

）．
令f′（x）=0，從而可得sin（x+

π

4

）=-

2

2

，
解得x=π，或x=

3π

2

，
當x變化時，f′（x），f（x）變化情況如下表：

x	（0，π）	π	（π， 3π 2 ）	3π 2
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調遞增↑	π+2	單調遞減↓	3π 2	單調遞增↑

因此，由上表知f（x）的單調遞增區間是（0，π）與（

3π

2

，2π），單調遞減區間是（π，

3π

2

），
故函數f（x）的極小值為f（

3π

2

）=

3π

2

，極大值為f（π）=π+2；
（2）f′(x)=

2

sin(x+

π

4

)+a
由于函數f（x）為單調函數，
則f′（x）≥0恒成立或f′（x）≤0恒成立
∴

2

sin（x+

π

4

）+a≥0或

2

sin（x+

π

4

）+a≤0，
解得a≤-

2

或a≥

2

故實數a的取值范圍為(-∞，-

2

]∪[

2

，+∞)．

點評：本題考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性與極值的方法，考查綜合應用數學知識解決問題的能力．對于函數解答題，一般情況下都是利用導數來研究單調性或極值，利用導數為0得可能的極值點，通過列表得每個區間導數的正負判斷函數的單調性，進而得出極值點．