Question

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

(1) 求證：平面BCD；

(2) 求異面直線AB與CD所成角余弦的大小；

(3) 求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

解：(1) 證明：連結OC，

　　　

　　　　 ………… 1分

　　　 ，． ……… 2分

　　　 在中，

由已知可得 …………3分

而， ∴ ……… 4分　　　　 ∴即 ………………… 5分

　　　 ∴平面． …………… 6分

　　　 (2) 解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

∴，……………　 9分

　　　 ∴ 異面直線AB與CD所成角余弦的大小為．……　 10分

　　　 (3) 解：設平面ACD的法向量為則

　　　 ，∴ ，

令得是平面ACD的一個法向量．

　　　 又　 ∴點E到平面ACD的距離 ．………　 14分

(3) （法二）解：設點E到平面ACD的距離為．

　 　 ，

∴ …………………………12分

　 　　 在中，,

　 　 ∴,

而，．

　　　 　 ∴，

∴點E到平面ACD的距離為…………… 14分