Question

【題目】

（本題滿分15分）已知m＞1，直線，

橢圓，分別為橢圓的左、右焦點.

（Ⅰ）當直線過右焦點時，求直線的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，，

的重心分別為.若原點在以線段

為直徑的圓內，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】，

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由橢圓方程可得橢圓的右焦點坐標將其代入直線方程即可求得的值． （Ⅱ）將直線方程與橢圓方程聯立，消去可得關于的一元二次方程，從而可得兩根之積兩根之和．根據重心坐標公式分別求得點的坐標，由題意可知，即．根據數量積公式可求得范圍．

試題解析：解：（Ⅰ）∵直線：經過，

，得．

又，．

故直線的方程為．

（Ⅱ）設，

由消去得，

∴．

由，得，

由于，故為的中點．

由分別為的重心，可知，

設是的中點，則，

∵原點在以線段為直徑的圓內，．

而，

∴，即．

又且，．的取值范圍是．