Question

已知某校5個學生的數學和物理成績如下表：

學生的編號i	1	2	3	4	5
數學xi	80	75	70	65	60
物理yi	70	66	68	64	62

（Ⅰ）通過大量事實證明發現，學生的數學成績和物理成績具有很強的線性相關關系，用x表示數學成績，用y表示物理成績，根據上述表格求y與x的回歸方程；
（Ⅱ）利用殘差分析回歸方程的擬合效果，若殘差和在（-0.1，0.1）范圍內，則稱回歸方程為“優擬方程”，問：該回歸方程是否為“優擬方程”？
參考公式和數據：回歸直線方程：

?

y

=bx+a，其中b=

n i=1 xiyi-n . x • . y

n i=1 x 2 i -n . x 2

，a=

.

y

-b

.

x

；

5

i=1

xiyi=23190，

5

i=1

x

2 i

=24750，殘差和公式為：

5

i=1

(yi-

?

y

i)．

Answer 1

分析：（I）分別做出橫標和縱標的平均數，利用最小二乘法做出b的值，再做出a的值，寫出線性回歸方程，得到結果．
（II）做出殘差平方差，得到結果是0，根據所給的殘差平方和的范圍，得到所求的線性回歸方程是一個優逆方程．

解答：解：（I）

.

x

=70，

.

y

=66，
b=

80×70+75×66+70×68+65×64+60×62-5×70×66

802+752+702+652+602-5×702

=0.36，
a=40.8，
∴回歸直線方程為y=0.36x+40.8．
（Ⅱ）∵殘差和公式為：

5

i=1

（y_i-

yi

）=0，
∵0∈（-0.1，0.1），
∴回歸方程為優逆方程．

點評：本題考查變量間的相關關系，考查回歸分析的應用，考查新定義問題，是一個基礎題，注意題目的數字運算不要出錯．