Question

【題目】已知點P（0，2）和圓C：x2+y2﹣8x+11=0．
（1）求過點P，點C和原點三點圓的方程；
（2）求以點P為圓心且與圓C外切的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：化圓C：x2+y2﹣8x+11=0為（x﹣4）2+y2=5，

則圓心C（4，0），半徑r= ，

設過點P，點C和原點三點圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．

代入點的坐標得： ，即 ，解得： ．

∴過點P，點C和原點三點圓的方程為x2+y2﹣4x﹣2y=0；

（2）解：如圖，∵C（4，0），P（0，2），

∴|PC|= ，

又圓C的半徑r= ，且圓P與圓C外切，

∴圓P的半徑為 ．

則以點P為圓心且與圓C外切的圓的方程為x2+（y﹣2）2=5．

【解析】（1）化圓C的方程為標準方程，求出圓C的圓心坐標和半徑，再設過點P，點C和原點三點圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0．代入點的坐標可得關于D、E、F的三元一次方程組，求出D、E、F的值得所求圓的方程；（2）求出P與C的距離，減去已知圓的半徑得到要求圓的半徑，代入圓的標準方程得答案．
【考點精析】利用圓的一般方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知圓的一般方程的特點：(1)①x2和y2的系數相同，不等于0．②沒有xy這樣的二次項；(2)圓的一般方程中有三個特定的系數D、E、F，因之只要求出這三個系數，圓的方程就確定了；(3)、與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯．