Question

【題目】如圖示，A，B分別是橢圓C： （a＞b＞0）的左右頂點，F為其右焦點，2是|AF與|FB|的等差中項， 是|AF|與|FB|的等比中項．點P是橢圓C上異于A、B的任一動點，過點A作直線l⊥x軸．以線段AF為直徑的圓交直線AP于點A，M，連接FM交直線l于點Q．

（1）求橢圓C的方程；
（2）試問在x軸上是否存在一個定點N，使得直線PQ必過該定點N？若存在，求出N點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得|AF|=a+c，|FB|=a﹣c，

即 ，

解得：a=2，c=1，

∴b2=4﹣1=3，

∴所求橢圓的方程為： =1

（2）

解：假設在x軸上存在一個定點N（n，0），使得直線PD必過定點N（n，0），

設動點P（x0，y0），由于P點異于A，B，

故y0≠0，且x0≠±2，

由點P在橢圓上，

故有 ，∴ ，①

又由（1）知A（﹣2，0），F（1，0），∴直線AP的斜率 ，

又點M是以線段AF為直徑的圓與直線AP的交點，∴AP⊥FM，

∴ ，

∴直線FM的方程：

聯立FM，l的方程 ，得交點Q（﹣2， ）．

∴P、Q兩點連線的斜率 ，②

將①式代入②式，并整理得：kPQ= ，

又P，N兩點連線的斜率 ，

若直線QP必過定點N（n，0），則必有kPQ=KPN恒成立

即 整理得： ，③

將①式代入③式，得

解得：n=2，

故直線x過定點（2，0）．

【解析】（1）由題意得|AF|=a+c，|FB|=a﹣c，再由2是|AF與|FB|的等差中項， 是|AF|與|FB|的等比中項，能求出橢圓的方程．（2）假設在x軸上存在一個定點N（n，0），使得直線PD必過定點N（n，0），設動點P（x0 ， y0），由點P在橢圓上，求出 ，再求出直線FM的方程，聯立FM，l的方程，得交點Q，由此能求出直線x過定點（2，0）．