Question

【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，．

（1）求證：平面．

（2）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角的平面角為，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）在底面中證明即可證得線面垂直；

（2）分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，令，然后寫出各點坐標，求出平面和平面的法向量，由法向量夾角與二面角的關系求得（為的函數），由函數知識可得最大值和最小值，即得取值范圍．

（1）證明：在梯形中，∵，，，

∴．∴，

∴，∴．

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面．

（2）解：分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

令，則，，，，

∴，．

設為平面的一個法向量，

由，得

取，則．

∵是平面的一個法向量，

∴．

∵，

∴當時，有最小值；

當時，有最大值．

∴．