Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=3ⁿ+k．
（1）求k的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a₁=3+k，a₂=6，a₃=18，由18（3+k）=36，解得k=-1．由此能求an=2•3n-1．
（2）由a_nb_n=n，得bn=

n

an

=

n

2•3n-1

，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=3ⁿ+k．
∴a₁=3+k，a₂=S₂-S₁=9-3=6，
a₃=S₃-S₂=27-9=18，
∴18（3+k）=36，解得k=-1．
∴Sn=3n-1，a₁=2，q=

6

2

=3，
∴an=2•3n-1．
（2）∵a_nb_n=n，∴bn=

n

an

=

n

2•3n-1

，
∴T_n=

1

2

×

1

30

+

2

2

•

1

3

+

3

2

•

1

32

+…+

n

2

•

1

3n-1

，①

1

3

Tn=

1

2

•

1

3

+

2

2

•

1

32

+

3

2

•

1

33

+…+

n

2

•

1

3n

，②
①-②，得：

2

3

Tn=

1

2

(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)-

n

2

•

1

3n

=

1

2

×

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

2

•

1

3n

=

3

4

-（

3

4

+

n

2

）•

1

3n

，
∴T_n=

9

8

-（

3

8

+

n

4

）•

1

3n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．