Question

已知關于x的不等式（ax-a²-4）（x-4）＞0的解集為A，且A中共含有n個整數，則n最小值為

7

．

Answer 1

分析：對a分a＜0，a=0與a＞0三種情況討論，可求得解集A，即可求得最小值集合A中元素最少是的n．

解答：解：當a＜0時，（x-

a2+4

a

）（x-4）＜0，
∵a＜0，
∴-a＞0，
∴-a-

4

a

≥2

(-a)•(- 4 a )

=4（當且僅當a=-2時取等號），
∴-4≤a+

4

a

＜0，
故解集為A=（a+

4

a

，4），A中共含有：-3，-2，-1，0，1，2，3，共7個整數；
a=0時，-4（x-4）＞0，解集為A=（-∞，4），整數解有無窮多，故a=0不符合條件；
a＞0時，（x-

a2+4

a

）（x-4）＞0，同理可證a+

4

a

≥4，
∴解集A為（a+

4

a

，+∞）∪（-∞，4），整數解有無窮多，故a＞0不符合條件；
綜上：n最小值為7．
故答案為：7．

點評：本題考查一元二次不等式的解法，突出考查分類討論思想及方程思想，屬于中檔題．