Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，，為，軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）記點(diǎn)的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點(diǎn)，、為曲線上與不重合的兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積為，求證直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分點(diǎn)P在線段上和線段的延長(zhǎng)線上兩種情況討論，根據(jù)題意得到線段AB的長(zhǎng)，列式化簡(jiǎn)求得點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）先明確直線MN的斜率不存在時(shí)對(duì)應(yīng)的情況，再求其斜率存在的時(shí)候，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用題中的條件，建立等量關(guān)系式，求得其過的定點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，

根據(jù)，，有，此時(shí)，

所以有，即；

當(dāng)點(diǎn)P在線段外時(shí)，根據(jù)，，

只能點(diǎn)P在線段BA是延長(zhǎng)線上，并且點(diǎn)A是線段BP的中點(diǎn)，

設(shè)，則有，且有，

所以有；

所以點(diǎn)P的軌跡方程為；

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)：

則，

∴,不合題意.

②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，，

聯(lián)立方程得

則

，

又

即

將，代入上式得

∴直線過定點(diǎn).