Question

【題目】已知過點的直線與橢圓：交于不同的兩點，其中，為坐標原點．

（1）若，求的面積；

（2）在軸上是否存在定點，使得直線與的斜率互為相反數？

Answer 1

【答案】（1）（2）在軸上存在定點，使得直線與的斜率互為相反數.

【解析】

（1）由題意不妨設點A(0,1),寫出直線AB方程，與橢圓方程聯立，得點B坐標，根據面積公式即可得結果；（2）設過點D的直線方程，與橢圓方程聯立，用韋達定理，即可得到定點T的坐標.

(1)當時，或，

由對稱性，不妨令，此時直線：，

聯立，消去整理得，

解得，，

故.

所以的面積為.

（2）顯然直線的斜率不為0，設直線：，

聯立，消去整理得

所以，即，

，，

設，則

因為直線與的斜率互為相反數，所以，

即，

故，故在軸上存在定點，使得直線與的斜率互為相反數.