Question

【題目】如圖，在四面體中，，．

（1）證明：；

（2）若，，四面體的體積為2，證明：平面平面．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：方法1：（1）作Rt△斜邊上的高，連，可得Rt△≌ Rt△，于是，由此可得平面，于是．（2）由題意得，

然后根據平面，四面體的體積可得，于是得到

，故，所以得平面，由面面垂直的判定定理可得結論．

方法2：（1）由三角形全等可得．取的中點，連，，則有平面，從而可得．（2）由題意得△面積為，根據可得點到平面距離．然后在平面內過作于，求得．

故得平面，可證得平面平面．

詳解：（1）解法1：如圖，作Rt△斜邊上的高，連．

∵，，

∴Rt△≌ Rt△．

于是可得．

又，

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）在Rt△中，，，

∴，， ，

△的面積．

又平面，四面體的體積，

∴，

∴，，

∴．

∵，，

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．

解法2：

（1）∵，，

∴Rt△≌Rt△．

∴．

取的中點，連，，則，，

又

∴平面，

∵平面，

∴．

（2）在Rt△中，，，

∴△面積為．

設到平面距離為，

則，

∴．

在平面內過作，垂足為，

∵，，

∴．

由點到平面距離定義知平面，

∵平面，

∴平面平面．