Question

已知命題p：橢圓x²+2y²=2的焦距是2； 命題q：?x∈R，sinx-cosx=t+

4

t-1

(t≠1)．下列命題中，為真命題的是（　�。�

A．（?p）∨q

B．（?p）∧（?q）

C．p∧（?q）

D．p∧q

Answer 1

分析：根據橢圓的標準方程判斷命題P是否為真命題；利用基本不等式求函數值域，求三角函數的值域，判斷命題q是否為真命題，然后根據復合命題真值表判斷即可．

解答：解：對命題P：∵c²=a²-b²=1，∴2c=2，∴命題P為真命題；￢P為假命題
對命題q：∵g（t）=t+

4

t-1

=t-1+

4

t-1

+1，∴g（t）≥5或g（t）≤-3，
又∵sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），∴-

2

≤sinx-cosx≤

2

，∴命題q為假命題；￢q為真命題．
根據復合命題真值表，（￢p）∨q為假命題；
（￢p）∧（￢q）為假命題；P∧（￢q）為真命題；P∧q為假命題，
故選C．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了橢圓的標準方程、基本不等式求函數的值域及三角函數的最值問題．尤其是利用不等式求最值時，要注意驗證：一、“正”；二、“定”；三、“相等”．