Question

（2012•順河區一模）已知函數f(x)=ln

1

x

-ax2+x(a＞0)．
（1）若f（x）是單調函數，求a的取值范圍；
（2）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂，證明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（1）先由f（x），求出f′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．再利用導數判斷函數的單調性，由f（x）是單調函數，能求出a的取值范圍．
（2）由（1）知，當且僅當a∈（0，

1

8

）時，f（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．求得f（x₁）+f（x₂）=-ln（x₁x₂）+

1

2

（x₁+x₂）+1=ln（2a）+

1

4a

+1．令g（a）=ln（2a）+

1

4a

+1，a∈（0，

1

8

]，由此能夠證明f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．…（2分）
令△=1-8a．
當a≥

1

8

時，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）單調遞減．…（4分）
當0＜a＜

1

8

時，△＞0，方程2ax²-x+1=0有兩個不相等的正根x₁，x₂，
不妨設x₁＜x₂，
則當x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）時，f′（x）＜0，
當x∈（x₁，x₂）時，f′（x）＞0，
這時f（x）不是單調函數．
綜上，a的取值范圍是[

1

8

，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當a∈（0，

1

8

）時，f（x）有極小值點x₁和極大值點x₂，
且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-ax12+x₁-lnx₂-ax22+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-

1

2

（x₁-1）-

1

2

（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+

1

2

（x₁+x₂）+1=ln（2a）+

1

4a

+1．…（9分）
令g（a）=ln（2a）+

1

4a

+1，a∈（0，

1

8

]，
則當a∈（0，

1

8

）時，g′（a）=

1

a

-

1

4a2

=

4a-1

4a2

＜0，g（a）在（0，

1

8

）單調遞減，
所以g（a）＞g（

1

8

）=3-2ln2，即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．…（12分）

點評：本題考查實數取值范圍的求法，考查不等式的證明，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的合理運用．