Question

設函數。

（Ⅰ）若在定義域內存在，而使得不等式能成立，求實數的最小值；

（Ⅱ）若函數在區間上恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍。

Answer 1

解：(Ⅰ)要使得不等式能成立，只需。

求導得：，        

∵函數得定義域為，

當時，，

∴函數在區間上是減函數；

當時，，

∴函數在區間(0，+∞)上是增函數。

∴，                     

∴。故實數的最小值為。                   

(Ⅱ)由得：

原題設即方程在區間上恰有兩個相異實根。 

   設。∵，列表如下：

		－	0	＋
		減函數		增函數

∵，∴。

從而有，                    

畫出函數在區間上的草圖（見下）            

易知要使方程在區間上恰有兩個相異實根，

只需：，

即：。