Question

（本小題滿分14分）設函數。

 （1）若在處取得極值，求的值；

 （2）若在定義域內為增函數，求的取值范圍；

（3）設，當時，

求證：① 在其定義域內恒成立；

求證：② 。

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）。經檢驗適合。（3）見解析。

【解析】本題以函數為載體．主要考查了了利用導數研究函數的極值，以及利用導數研究函數的單調性和不等式的證明，屬于中檔題

（1）先求函數的導函數，根據若x= 時，f（x）取得極值得f′（ ）=0，解之即可；

（2）f（x）在其定義域內為增函數可轉化成只需在（0，+∞）內有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等關系，解之即可；

(3) ，當時，，，

∴ 在處取得極大值，也是最大值, ，∴，∴放縮法得到結論。

解：（1），…………………………1分

∵在處取得極值，∴，即。經檢驗適合。…………3分

（2）在定義域為，…………………………4分

要在定義域內為增函數，則在上恒成立。

∴，………………………5分

而，∴。經檢驗適合。…………………………6分

（3）①，當時，，，

∴…………………………7分

在處取得極大值，也是最大值。

而，∴，在上恒成立，

因此，∴。………………………9分

②，∴，∴………………………10分

∴ 

 …………………………11分

…………………………12分

=

= = ………………………14分