Question

已知函數f(x)=a(x-

1

x

)-lnx．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設函數g(x)=

e

x

，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，求出切點坐標，然后求出f'（x），從而求出f'（1）的值即為切線的斜率，利用點斜式可求出切線方程；
（Ⅱ）先求導函數，要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，然后將a分離，利用基本不等式可求出a的取值范圍；
（III）根據g（x）在[1，e]上的單調性求出其值域，然后根據（II）可求出f（x）的最大值，要使在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]，然后建立不等式，解之即可求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，函數f(x)=x-

1

x

-lnx，
∴f（1）=1-1-ln1=0.f′(x)=1+

1

x2

-

1

x

，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=1+1-1=1．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=x-1，
即y=x-1．                                                 …（4分）
（Ⅱ）f′(x)=a+

a

x2

-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．
要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需f′（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．
即：ax²-x+a≥0得：a≥

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

恒成立．
由于x+

1

x

≥2，
∴

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴a≥

1

2

∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，實數a的取值范圍是[

1

2

，+∞)．…（8分）
（III）∵g(x)=

e

x

在[1，e]上是減函數
∴x=e時，g（x）_min=1，x=1時，g（x）_max=e，即g（x）∈[1，e]
f'（x）=

ax2-x+a

x2

令h（x）=ax²-x+a
當a≥

1

2

時，由（II）知f（x）在[1，e]上是增函數，f（1）=0＜1
又g(x)=

e

x

在[1，e]上是減函數，故只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]
而f（x）_max=f（e）=a(e-

1

e

) -lne，g（x）_min=1，即）=a(e-

1

e

) -lne≥1
解得a≥

2e

e2-1

∴實數a的取值范圍是[

2e

e2-1

，+∞）

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的單調性和最值，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．