Question

已知點P是橢圓C：

x2

8

+

y2

4

=1上的動點，F₁，F₂分別為左、右焦點，O為坐標原點，則

||PF1|-|PF2||

|OP|

的取值范圍是（　　）

• A、[0，

  2

  2

  ]
• B、[0，2）
• C、(

  1

  2

  ，

  2

  2

  ]
• D、[0，

  2

  ]

Answer 1

分析：根據三角中線的性質可知

OP

=-

PF1 + PF2

2

，代入

||PF1|-|PF2||

|OP|

中，根據當點P在短軸端點時||PF₁|-PF₂||的值最小；當點P在長軸端點時||PF₁|-PF₂||的值最大，進而求得答案．

解答：解：O為F₁F₂的中點
∴

OP

=-

PF1 + PF2

2

∴

||PF1|-|PF2||

|OP|

=

||PF 1|-|PF 2||

|PF 1|+|PF 2| 2

=

||PF 1|-|PF 2||

2

∵當點P在短軸端點時，|PF₁|=|PF₂|．||PF₁|-PF₂||的值最小為0
當點P在長軸端點時||PF₁|-PF₂||的值最大為4
∴

||PF1|-|PF2||

|OP|

的取值范圍是[0，

2

]
故選D

點評：本題主要考查了橢圓的應用．解題的關鍵是利用了三角形中線的性質．若AD是△ABC的中線，則

AB

+

AC

=2

AD

．