Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

36

+

y2

24

=1(x≠0，y≠0)上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是∠F₁PF₂的角平分線上一點(diǎn)，且

F1M

•

MP

=0，則|OM|的取值范圍是（　　）

• A．（0，2

  3

  ]
• B．(0，2

  3

  )
• C．[2

  3

  ，3）
• D．[0，4]

Answer 1

分析：結(jié)合橢圓的圖象，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓與y軸交點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)M與原點(diǎn)O重合，此時(shí)|OM|取最小值0；當(dāng)點(diǎn)P在橢圓與x軸交點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1重合，此時(shí)|OM|取最大值2

3

，由此能夠得到|OM|的取值范圍．

解答：解：由題意得c=2

3

，當(dāng)P在橢圓的短軸頂點(diǎn)處時(shí)，M與 O重合，|OM|取得最小值等于0．
當(dāng)P在橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)處時(shí)，M與F₁重合，|OM|取得最大值等于c=2

3

．
由于xy≠0，故|OM|的取值范圍是 (0，2

3

)，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，結(jié)合圖象解題，事半功倍．