Question

已知二次函數f（x）滿足：①在x=1時有極值；②二次函數圖象過點（0，-3），且在該點處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數g（x）=f（x²）的單調遞增區間與極大值．

Answer 1

分析：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b．由題設可得：

f′(1)=0 f′(0)=-2 f(0)=-3

，由此能求出f（x）．
（2）由g（x）=f（x²）=x⁴-2x²-3，知g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）．列表能求出函數g（x）的單調遞增區間與極大值．

解答：（本小題13分）
解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b．
由題設可得：

f′(1)=0 f′(0)=-2 f(0)=-3

，
即

2a+b=0 b=-2 c=-3.

，
解得

a=1 b=-2 c=-3.

所以f（x）=x²-2x-3．
（2）g（x）=f（x²）=x⁴-2x²-3，
g′（x）=4x³-4x=4x（x-1）（x+1）．
列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	-	0	+	0	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

由表可得：函數g（x）的單調遞增區間為（-1，0）和（1，+∞）．
函數g（x）的極大值是g（0）=-3．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數的單調增區間和極大值的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．