Question

已知二次函數f（x）=x²+2（10-3n）x+9n²-61n+100，其中n∈N^*．
（Ⅰ）設函數y=f（x）的圖象的頂點的橫坐標構成數列{a_n}，求證：數列{a_n}為等差數列；
（Ⅱ）設函數y=f（x）的圖象的頂點到y軸的距離構成數列{d_n}，求數列{d_n}的前n項和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）由二次函數y=f（x）的對稱軸為x=3n-10得a_n=3n-10
∵對n∈N且n≥2，有a_n-a_n-1=3
∴{a_n}為等差數列．
（Ⅱ）由題意，d_n=|a_n|，即 dn=

10-3n(1≤n≤3) 3n-10(n≥4)

∴當1≤n≤3時，Sn=

7+10-3n

2

•n=

17n-3n2

2

當n≥4時，S_n=7+4+1-（-2-5+…+10-3n）=

3n2-17n+48

2

∴Sn=

17n-3n2 2 (1≤n≤3) 3n2-17n+48 2 (n≥4)